Cinématique du
Point Matériel
Position, vitesse, accélération — comprendre le mouvement avant d'en chercher les causes. Un cours complet avec calculs, codes MATLAB et simulations interactives.
1. Introduction — pourquoi la cinématique d'abord ?
Avant de comprendre pourquoi un objet se déplace, il faut être capable de décrire comment il se déplace. C'est exactement le rôle de la cinématique : elle s'intéresse au mouvement en lui-même, sans se préoccuper des forces qui en sont à l'origine. C'est une étape indispensable avant d'aborder la dynamique au chapitre suivant.
Pensez-y comme à un photographe qui documente une course automobile : il enregistre les positions, les vitesses, les trajectoires — sans s'interroger sur la puissance du moteur. La cinématique, c'est ça : observer, mesurer, et décrire mathématiquement le mouvement.
La plupart des cours disponibles en ligne traitent les différents systèmes de coordonnées de manière isolée, sans montrer les liens entre eux ni proposer d'illustrations numériques. Dans ce chapitre, nous montrons comment passer d'un système à l'autre, illustrons chaque concept avec des graphiques MATLAB et insistons sur les erreurs classiques.
2. Référentiel et repère d'espace
Voici une question qui paraît anodine mais fondamentale : « La voiture avance-t-elle ? ». La réponse dépend de là où vous vous trouvez. Si vous êtes dans la voiture, elle est immobile par rapport à vous. Si vous êtes sur le trottoir, elle se déplace. La cinématique n'a de sens que si l'on précise par rapport à quoi on décrit le mouvement : c'est le référentiel.
Un repère d'espace est défini par une origine O et une base de trois vecteurs unitaires orthogonaux (O, î, ĵ, k̂). On choisit en général une base orthonormée directe : î × ĵ = k̂.
Les référentiels usuels
| Référentiel | Solide de référence | Utilisation |
|---|---|---|
| Géocentrique (Copernic) | Centre de la Terre, axes fixes | Mécanique céleste |
| Terrestre (laboratoire) | Surface de la Terre | Expériences courantes |
| Héliocentrique | Centre du Soleil | Mouvement planétaire |
| Lié au solide | Solide en mouvement | Mouvement relatif |
3. Vecteur position et équation horaire
Pour repérer un point matériel M dans un référentiel donné, on définit le vecteur position OM⃗(t), reliant l'origine O au point M à l'instant t.
Exemple : le mouvement parabolique
Un projectile lancé avec une vitesse initiale v₀ à un angle α par rapport à l'horizontale (sans frottement) :
4. Vecteur vitesse instantanée
La vitesse instantanée caractérise l'état d'un mobile à un instant précis, définie comme la limite de la vitesse moyenne quand l'intervalle de temps tend vers zéro.
5. Vecteur accélération et repère de Frenet
Le vecteur accélération mesure la variation du vecteur vitesse par rapport au temps. Attention : l'accélération ne se réduit pas à « la vitesse augmente ». Un mobile peut changer de direction à vitesse constante — il est quand même accéléré !
Décomposition de Serret-Frenet (repère intrinsèque)
6. Systèmes de coordonnées
6.1 Coordonnées cartésiennes (x, y, z)
Base fixe (î, ĵ, k̂) — indépendante du temps. Idéale pour les mouvements rectilignes.
6.2 Coordonnées polaires (ρ, φ) — plan 2D
Les vecteurs de base eρ⃗ et eφ⃗ tournent avec le point M. C'est capital — oublier de les dériver est l'erreur n°1.
6.3 Coordonnées cylindriques (ρ, φ, z)
7. Types de mouvements classiques
7.1 Mouvement rectiligne uniforme (MRU)
7.2 Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)
7.3 Mouvement circulaire uniforme (MCU)
7.4 Mouvement circulaire non uniforme (MCnU)
8. Codes MATLAB commentés et graphiques
Les formules théoriques prennent tout leur sens quand on les visualise. Voici trois scripts MATLAB progressifs — lisez les commentaires, ils font partie intégrante du cours.
Code 1 : Tir parabolique
% ================================================
% CINÉMATIQUE — Tir parabolique
% Mécanique Générale 1 | Chapitre 2
% ================================================
clear all; close all; clc;
% Paramètres initiaux
v0 = 20; % Vitesse initiale [m/s]
alpha = 45*pi/180; % Angle [rad]
g = 9.81; % Pesanteur [m/s²]
% Durée du vol (y=0 à l'atterrissage)
t_vol = 2*v0*sin(alpha)/g;
t = 0:0.01:t_vol;
% Équations horaires
x = v0.*cos(alpha).*t;
y = v0.*sin(alpha).*t - 0.5.*g.*t.^2;
% Vecteur vitesse (dérivées)
vx = v0*cos(alpha)*ones(size(t));
vy = v0*sin(alpha) - g.*t;
v = sqrt(vx.^2 + vy.^2);
% Figure 1 : Trajectoire
figure; plot(x,y,'b-','LineWidth',2);
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Tir parabolique (α=45°, v₀=20 m/s)');
grid on; axis equal;
% Figure 2 : Vitesse
figure; plot(t,vx,'r-',t,vy,'b-',t,v,'k--','LineWidth',1.8);
legend('vₓ','v_y','|v⃗|'); xlabel('t (s)'); grid on;
% Résultats clés
portee = v0^2*sin(2*alpha)/g;
h_max = (v0*sin(alpha))^2/(2*g);
fprintf('Portée=%.2f m | h_max=%.2f m\n',portee,h_max);
Code 2 : Mouvement circulaire uniforme
% ================================================
% MCU — Vitesse tangentielle + Accélération centripète
% ================================================
clear all; close all; clc;
R = 2; % Rayon [m]
omega = 1.5; % Vitesse angulaire [rad/s]
t = 0:0.01:2*pi/omega;
% Position
x = R.*cos(omega.*t);
y = R.*sin(omega.*t);
% Vitesse (tangentielle)
vx = -R.*omega.*sin(omega.*t);
vy = R.*omega.*cos(omega.*t);
% Accélération (centripète ← vers O)
ax = -R.*omega^2.*cos(omega.*t);
ay = -R.*omega^2.*sin(omega.*t);
% Vérification : |a| = R·ω² = constante
fprintf('|a⃗| moy = %.4f | théorique = %.4f\n',...
mean(sqrt(ax.^2+ay.^2)), R*omega^2);
% Tracé avec vecteurs au quart du tour
idx = round(length(t)/4);
figure; plot(x,y,'b-','LineWidth',2); hold on;
quiver(x(idx),y(idx),vx(idx)/2,vy(idx)/2,0,'r','LineWidth',2);
quiver(x(idx),y(idx),ax(idx)/4,ay(idx)/4,0,'g','LineWidth',2);
axis equal; grid on;
legend('Trajectoire','v⃗ tangentielle','a⃗ centripète');
title('MCU : v⃗ tangent, a⃗ centripète vers O');
Code 3 : Spirale d'Archimède en coordonnées polaires
% ================================================
% COORDONNÉES POLAIRES — Spirale d'Archimède ρ = a·φ
% Calcul complet de v⃗ et a⃗ en polaire
% ================================================
clear all; close all; clc;
a = 0.5; % Paramètre [m/rad]
phi_dot = 1; % Vitesse angulaire [rad/s]
phi = 0:0.05:4*pi;
t = phi/phi_dot;
% ρ = a·φ → ρ̇ = a·φ̇ → ρ̈ = 0
rho = a.*phi;
rho_dot = a*phi_dot;
% Vitesse : v⃗ = ρ̇·eρ + ρ·φ̇·eφ
v_r = rho_dot*ones(size(phi));
v_phi = rho.*phi_dot;
v_nrm = sqrt(v_r.^2+v_phi.^2);
% Accélération : a⃗ = (ρ̈−ρφ̇²)·eρ + 2ρ̇φ̇·eφ (φ̈=0)
a_r = -rho.*phi_dot^2; % centripète
a_phi = 2.*rho_dot.*phi_dot; % Coriolis
a_nrm = sqrt(a_r.^2+a_phi.^2);
% Conversion en cartésien pour tracé
x = rho.*cos(phi); y = rho.*sin(phi);
figure;
subplot(1,2,1);
plot(x,y,'b-','LineWidth',2);
title('Spirale d''Archimède'); axis equal; grid on;
subplot(1,2,2);
plot(t,v_nrm,'r-',t,a_nrm,'b--','LineWidth',2);
legend('|v⃗| (m/s)','|a⃗| (m/s²)');
xlabel('t (s)'); grid on;
title('Évolution de |v| et |a|');
9. Résumé et tableau récapitulatif
Gardez ce tableau sous la main lors de vos exercices — la colonne « Piège courant » résume les erreurs que font 80 % des étudiants en examen.
| Grandeur | Définition | Unité | Piège courant |
|---|---|---|---|
| Vecteur position OM⃗ | Repère M dans le référentiel | m | Confondre avec le déplacement ΔOM⃗ |
| Vitesse instantanée v⃗ | dOM⃗/dt — tangente à la trajectoire | m/s | Utiliser la vitesse moyenne à la place |
| Accélération a⃗ | dv⃗/dt = d²OM⃗/dt² | m/s² | Croire que a⃗ = 0 quand |v⃗| = cste |
| Base polaire (eρ, eφ) | Vecteurs qui tournent avec M | — | Oublier de dériver eρ et eφ en t |
| Accélération normale aₙ | v²/Rc ≥ 0 — toujours vers le centre | m/s² | L'omettre en MCnU |
← Chapitre 1 : Rappels mathématiques | Chapitre 3 : Dynamique du point matériel →
Ce cours fait partie de la série Mécanique Générale 1.
