Résistance des poutres: Diagrammes Efforts Tranchants & Moments

 

 

Diagrammes Efforts Tranchants & Moments — Poutre encastrée d’un côté + appuis doubles + charge ponctuelle au milieu

 

Ce tutoriel prolonge la vidéo « Diagrammes Efforts Tranchants & Moments Fléchissants | Tutoriel Complet SolidWorks Simulation #FEM » et présente en détail le cas d’une poutre encastrée d’un côté, reposant sur deux appuis simples de l’autre, soumise à une force concentrée au milieu.

Nous verrons :

• la modélisation du système,

• les équations d’équilibre et le tracé des diagrammes,

• la validation par SolidWorks Simulation (FEM),

• et enfin une FAQ pour résoudre les doutes les plus fréquents.

1. Définition du système & hypothèses

• Géométrie : longueur totale $L$. Encastrement à gauche (x = 0), deux appuis simples rapprochés à droite, et une charge ponctuelle $P$ appliquée au centre $x$.

• Matériau : isotrope, élastique linéaire.

• Section : constante sur toute la longueur.

• Hypothèses : déformations faibles, poids propre négligé.

   

  
  
  

   Poutre encastrée + appui double + Charge concentrée

   

Ce type de poutre est fréquent dans les structures mécaniques et civiles : ponts, bras de levier, ou supports encastrés.

2. Calcul des réactions: approche analytique

2.1. Vérification de l’hyperstaticité

Avant tout calcul, il faut vérifier si la poutre est statiquement déterminée ou hyperstatique.

• Si le système a plus de trois réactions d’appui, il devient hyperstatique.

• Dans notre cas, l’encastrement (3 réactions) + deux appuis simples (2 réactions) → 5 réactions > 3 équations d’équilibre → système hyperstatique.

➡️ On devra donc utiliser une méthode de déformation (méthode des forces, superposition, ou logiciel FEM).

2.2. Calcul simplifié (cas déterminé)

Pour un modèle d’étude plus simple (un encastrement + un appui simple + charge ponctuelle au milieu), les équations d’équilibre donnent :

$$R_A + R_B = P$$RA ​+ RB ​= P $$M_A = R_B \cdot L - P \cdot \frac{L}{2}$$

Les diagrammes $V(x)$ et $M(x)$ peuvent ensuite être obtenus par la méthode des coupures.

3. Tracé des diagrammes V(x) et M(x)

3.1. Diagramme de l’effort tranchant V(x)

• Le diagramme $V(x)$ change de signe au point d’application de la charge.

• Le saut dans $V(x)$ correspond à la valeur de la charge ponctuelle.

• Les zones constantes représentent les parties de la poutre non chargées.

   

3.2. Diagramme du moment fléchissant M(x)

• $M(x)$ est linéaire sur chaque tronçon.

• La pente du diagramme de moment est égale à la valeur de $V(x)$.

• Le moment maximal se produit généralement sous la charge.

    Astuce : pour vérifier rapidement ton tracé, le moment nul aux appuis simples et la continuité de M(x) doivent toujours être respectés.

4. Validation numérique sous SolidWorks Simulation (FEM)

4.1. Préparation du modèle

1. Créer la géométrie de la poutre.

2. Définir le matériau (acier, E = 210 GPa).

3. Appliquer les conditions aux limites :

   • Encastrement à gauche (bloquer déplacements et rotations).

   • Appuis simples à droite (limiter les déplacements verticaux).

4. Appliquer la charge ponctuelle $P$ au milieu.

4.2. Maillage et convergence

• Utiliser un maillage fin autour des appuis et de la charge.

• Vérifier la convergence des réactions d’appui.

• Si les résultats varient fortement, affiner le maillage localement.

4.3. Résultats & interprétation

• Les zones rouges sur le graphe des contraintes montrent les pics de moment.

• Les zones bleues indiquent une contrainte quasi nulle (souvent aux appuis simples).

• Comparer les réactions et les valeurs de $M_{max}$ avec les résultats analytiques.

 Diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants

 

 

 Flèche + Diagrammes des moments fléchissants

💡 Une différence < 5 % entre les valeurs analytiques et celles de SolidWorks Simulation indique une modélisation fiable.

5. Résumé pratique

🎯 Objectif final : obtenir des diagrammes cohérents et valider la théorie par la simulation FEM.

FAQ (Foire Aux Questions)

❓1. Quelle est la différence entre un effort tranchant et un moment fléchissant ?

L’effort tranchant (V) est la force interne qui tend à faire glisser les sections d’une poutre l’une par rapport à l’autre, tandis que le moment fléchissant (M) provoque la rotation ou la courbure de la poutre. $V(x)$ est la dérivée du moment $M(x)$.

❓2. Pourquoi utiliser SolidWorks Simulation pour ce type de calcul ?

Parce que le FEM permet d’analyser des structures complexes, y compris les cas hyperstatiques où la méthode analytique devient lourde. SolidWorks Simulation affiche aussi les champs de contrainte, la flèche maximale et la répartition du moment sur la longueur. 

❓3. Comment savoir si mon maillage est assez fin ?

Comparez la valeur de $M_{max}$ et des réactions pour plusieurs tailles de maillage. Si ces valeurs deviennent stables (variation < 2 %), votre maillage est convergent et donc fiable.

❓4. Que faire si les résultats analytiques et FEM diffèrent ?

Vérifiez :

• les conditions aux limites (appuis bien définis),

• la position exacte de la charge,

• et la section de la poutre (moment d’inertie).
  Des écarts importants proviennent souvent d’une erreur d’unité ou de contrainte mal appliquée.

❓5. Peut-on appliquer la même méthode à une poutre simplement appuyée ?

Oui, mais les conditions aux limites changent : pas d’encastrement, donc $M=0$ aux deux appuis. Les diagrammes $V(x)$ et $M(x)$ auront une forme plus simple (triangulaire et parabolique).

Mots-clés :

diagrammes efforts tranchants, moments fléchissants, poutre encastrée, appui double, SolidWorks Simulation, analyse FEM, méthode des coupures, maillage, hyperstaticité, résistance des matériaux.