Mécanique Générale 1 — Chapitre 5
Vibrations & Oscillateurs Harmoniques
De la masse-ressort à la résonance : maîtrisez les fondements des vibrations mécaniques avec des démonstrations mathématiques et des codes MATLAB commentés.
Table des matières
- Introduction : pourquoi étudier les vibrations ?
- Le modèle masse–ressort : naissance de l'oscillateur harmonique
- Oscillateur libre non amorti
- Analyse énergétique
- Oscillateur amorti (régimes libres)
- Oscillateur forcé et résonance
- Pendule simple — oscillateur angulaire
- Codes MATLAB commentés
- Applications industrielles
- Synthèse & mots-clés SEO
1. Introduction : pourquoi étudier les vibrations ?
Imaginez un pont qui tremble sous le vent, une turbine dont les pales entrent en résonnance, ou tout simplement votre smartphone qui vibre sur la table. Derrière chacun de ces phénomènes se cache un même modèle mathématique : l'oscillateur harmonique. C'est le "Hello World" de la mécanique dynamique — simple à écrire, riche en enseignements.
Dans ce chapitre 5, nous allons construire ce modèle brique par brique : d'abord le cas idéal sans frottement, puis la réalité avec amortissement, et enfin le cas pratique le plus important en ingénierie — l'excitation forcée et la résonance. Chaque concept sera illustré par un code MATLAB que vous pouvez exécuter directement.
✅ Pré-requis (chapitres précédents)
Lois de Newton (Ch. 2) · Travail et énergie mécanique (Ch. 4) · Équations différentielles du second ordre (mathématiques)
2. Le modèle masse–ressort : naissance de l'oscillateur harmonique
Considérons un point matériel de masse m (en kg) fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur k (en N/m), posé sur un plan horizontal sans frottement. Lorsqu'on écarte la masse de sa position d'équilibre d'une distance x, le ressort exerce une force de rappel (loi de Hooke) :
Loi de Hooke — force de rappel élastique
Figure 1 — Mouvement harmonique simple d'un oscillateur masse-ressort. Source : Wikimedia Commons / CC BY-SA
En appliquant le principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton) selon l'axe x :
Équation différentielle de l'oscillateur harmonique libre non amorti
📐 Définition — Pulsation propre ω₀
La pulsation propre \(\omega_0\) (rad/s) est la fréquence angulaire d'oscillation naturelle du système, indépendante de l'amplitude initiale. Elle ne dépend que des caractéristiques physiques du système (k et m). On en déduit la période propre \(T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}\) et la fréquence propre \(f_0 = \dfrac{1}{T_0} = \dfrac{\omega_0}{2\pi}\).
2.1 Généralisation — paramètres équivalents
En pratique, tout système oscillant (pendule, circuit LC, colonne d'air…) peut se ramener à l'équation \(\ddot{X} + \omega_0^2 X = 0\) en identifiant deux paramètres équivalents : une inertie généralisée \(I\) et une raideur généralisée \(k_{eq}\) tels que \(\omega_0^2 = k_{eq}/I\).
| Système | Inertie \(I\) | Raideur \(k_{eq}\) | \(\omega_0\) |
|---|---|---|---|
| Masse–ressort (horizontal) | \(m\) | \(k\) | \(\sqrt{k/m}\) |
| Pendule simple (petits angles) | \(mL^2\) | \(mgL\) | \(\sqrt{g/L}\) |
| Circuit LC électrique | \(L\) | \(1/C\) | \(1/\sqrt{LC}\) |
3. Oscillateur libre non amorti — solution et interprétation
La solution générale de \(\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0\) est une combinaison linéaire de cosinus et sinus, que l'on écrit sous deux formes équivalentes :
\(X_m\) : amplitude maximale (m) · \(\varphi\) : phase initiale (rad)
3.1 Détermination des constantes par les conditions initiales
Supposons qu'à \(t = 0\) on écarte la masse d'une distance \(x_0\) et on la lâche sans vitesse initiale : \(x(0) = x_0\) et \(\dot{x}(0) = 0\).
✏️ Résolution pas-à-pas
\(x(0) = A = x_0\)
\(\dot{x}(0) = \omega_0 B = 0 \Rightarrow B = 0\)
\(\Rightarrow \quad \boxed{x(t) = x_0 \cos(\omega_0\,t)}\)
La masse oscille indéfiniment entre \(-x_0\) et \(+x_0\), avec une période \(T_0 = 2\pi/\omega_0\). C'est la propriété d'isochronisme : la période ne dépend pas de l'amplitude.
4. Analyse énergétique — conservation et équipartition
Sans frottement, l'énergie mécanique totale \(E_m\) se conserve. Elle est la somme de l'énergie cinétique \(E_c\) et de l'énergie potentielle élastique \(E_p\) :
En substituant \(x(t) = X_m\cos(\omega_0 t)\) dans les expressions, on vérifie que les moyennes temporelles de \(E_c\) et \(E_p\) sont égales à \(E_m/2\). Ce résultat fondamental s'appelle l'équipartition de l'énergie : en moyenne, l'énergie se répartit équitablement entre forme cinétique et potentielle.
Énergie cinétique max
\(E_{c,\max} = \dfrac{1}{2}m\omega_0^2 X_m^2\)
quand \(x = 0\) (position d'équilibre)
Énergie potentielle max
\(E_{p,\max} = \dfrac{1}{2}k X_m^2\)
quand \(|x| = X_m\) (extrémités)
5. Oscillateur amorti — les trois régimes libres
En réalité, tout système réel dissipe de l'énergie par frottement. On modélise cette dissipation par une force d'amortissement visqueux proportionnelle à la vitesse : \(\vec{F}_{am} = -c\,\dot{x}\,\vec{e}_x\), où \(c\) (N·s/m) est le coefficient d'amortissement.
L'équation du mouvement devient :
\(\xi\) : coefficient d'amortissement réduit (sans dimension) — taux d'amortissement
5.1 Les trois régimes selon ξ
| Régime | Condition | Solution \(x(t)\) | Comportement |
|---|---|---|---|
| Sous-amorti (pseudo-périodique) | \(0 < \xi < 1\) | \(x(t) = X_m e^{-\xi\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi)\) | Oscillations amorties · \(\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\xi^2}\) |
| Critique | \(\xi = 1\) | \(x(t) = (A + Bt)\,e^{-\omega_0 t}\) | Retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation |
| Sur-amorti (apériodique) | \(\xi > 1\) | \(x(t) = A\,e^{r_1 t} + B\,e^{r_2 t}\) | Retour lent sans oscillation · \(r_{1,2} = (-\xi \pm \sqrt{\xi^2-1})\omega_0\) |
💡 Note pédagogique — Facteur de qualité Q
Le facteur de qualité \(Q = \dfrac{1}{2\xi} = \dfrac{\omega_0}{2\lambda}\) mesure la sélectivité d'un oscillateur : plus \(Q\) est grand, moins l'amortissement est important et plus les oscillations perdurent. Un quartz de montre a \(Q \approx 10^5\) ; un amortisseur de voiture fonctionne autour de \(\xi \approx 0{,}3\) pour \(Q \approx 1{,}7\).
6. Oscillateur forcé et résonance — le phénomène à ne pas rater
Lorsqu'on applique une force extérieure périodique \(F(t) = F_0\cos(\omega t)\), le système est dit forcé. L'équation du mouvement devient une équation différentielle avec second membre :
En régime permanent (transitoire éteint), la solution particulière est :
\(H(\omega)\) : facteur d'amplification dynamique · \(\psi\) : déphasage · \(r\) : rapport de fréquences
6.1 La résonance — quand l'ingénieur doit faire attention
Lorsque \(r \to 1\) (c'est-à-dire \(\omega \to \omega_0\)), le facteur \(H\) atteint son maximum. Pour un amortissement faible, ce maximum vaut :
⚠️ À la résonance, l'amplitude peut dépasser des dizaines de fois la déflection statique !
Figure 2 — Le pont de Tacoma Narrows (1940) : exemple historique de résonance catastrophique. Source : Wikimedia Commons / Domaine public
| Zone de \(r = \omega/\omega_0\) | Comportement | Déphasage \(\psi\) |
|---|---|---|
| \(r \ll 1\) (basse fréquence) | \(H \approx 1\) — quasi-statique | \(\psi \approx 0\) |
| \(r = 1\) (résonance) | \(H = 1/(2\xi)\) — maximum | \(\psi = \pi/2\) |
| \(r \gg 1\) (haute fréquence) | \(H \approx 1/r^2 \to 0\) — isolation | \(\psi \approx \pi\) |
7. Pendule simple — oscillateur angulaire
Un point matériel de masse \(m\) suspendu à un fil inextensible de longueur \(L\) constitue le pendule simple. En notant \(\theta\) l'angle avec la verticale, l'application du principe fondamental de la dynamique en rotation donne :
Figure 3 — Schéma du pendule simple. L'approximation \(\sin\theta \approx \theta\) (petits angles, \(\theta < 20°\)) est valable pour l'isochronisme. Source : Wikimedia Commons / CC BY-SA
🔔 Isochronisme des petites oscillations
La période \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\) est indépendante de l'amplitude (pour \(\theta_{\max} < 20°\)). C'est le principe sur lequel fonctionnaient les horloges à pendule de Huygens au XVIIe siècle. Pour des angles plus grands, la période corrigée s'exprime avec la formule de Borda : \(T \approx T_0\left(1 + \frac{\theta_m^2}{16}\right)\).
8. Codes MATLAB commentés — de la théorie à la simulation
8.1 Code 1 — Oscillateur libre : comparaison des trois régimes d'amortissement
%% ================================================ % CHAPITRE 5 — Mécanique Générale 1 % Comparaison des 3 régimes d'un oscillateur amorti % Auteur : kamelbousnina.site %% ================================================ clear; clc; close all; % ── Paramètres du système ────────────────────── m = 1; % masse (kg) k = 100; % raideur (N/m) w0 = sqrt(k/m); % pulsation propre (rad/s) x0 = 0.1; % déplacement initial (m) v0 = 0; % vitesse initiale (m/s) % ── Taux d'amortissement ─────────────────────── xi_vals = [0.1, 1.0, 2.0]; % sous-amorti, critique, sur-amorti labels = {'\xi=0.1 (sous-amorti)', ... '\xi=1.0 (critique)', ... '\xi=2.0 (sur-amorti)'}; couleurs = {'#2196F3','#4CAF50','#F44336'}; t = linspace(0, 3, 500); figure('Position',[100 100 800 450]); hold on; grid on; for i = 1:3 xi = xi_vals(i); c = 2*xi*m*w0; % coefficient d'amortissement (N.s/m) % ─ Résolution numérique via ode45 ──────────── f_ode = @(t,X) [X(2); -(c/m)*X(2) - (k/m)*X(1)]; [~, X] = ode45(f_ode, t, [x0; v0]); plot(t, X(:,1), 'LineWidth', 2, 'DisplayName', labels{i}); end plot(t, zeros(size(t)), 'k--', 'LineWidth', 0.8); xlabel('Temps t (s)', 'FontSize', 12); ylabel('Déplacement x(t) (m)', 'FontSize', 12); title('Oscillateur harmonique amorti — Régimes libres', 'FontSize', 13); legend('Location','northeast', 'FontSize', 10); set(gca, 'FontSize', 11);
8.2 Code 2 — Courbe de réponse en fréquence (diagramme de Bode amplitude)
%% ================================================ % Facteur d'amplification dynamique H(r) % pour différents amortissements ξ %% ================================================ clear; clc; close all; r = linspace(0, 2.5, 500); % rapport de fréquences r = ω/ω₀ xis = [0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1.0]; figure('Position',[100 100 800 480]); hold on; grid on; for xi = xis H = 1 ./ sqrt((1 - r.^2).^2 + (2*xi*r).^2); plot(r, H, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['\xi = ', num2str(xi)]); end % ── Mise en forme ───────────────────────────── xline(1, 'k--', 'LineWidth', 1, 'Label', '\omega_0', 'FontSize', 10); xlabel('r = \omega / \omega_0', 'FontSize', 12); ylabel('H(r) — Facteur d''amplification', 'FontSize', 12); title('Réponse en fréquence de l''oscillateur forcé', 'FontSize', 13); legend('Location','northeast', 'FontSize', 10); ylim([0 12]); set(gca, 'FontSize', 11);
8.3 Code 3 — Portrait de phase (espace d'état)
%% ================================================ % Portrait de phase : x(t) vs ẋ(t) % Oscillateur sous-amorti (spirale vers l'origine) %% ================================================ clear; clc; close all; m = 1; k = 50; xi = 0.08; w0 = sqrt(k/m); c = 2*xi*m*w0; x0 = 0.15; v0 = 0; f_ode = @(t,X) [X(2); -(c/m)*X(2) - (k/m)*X(1)]; [~, X] = ode45(f_ode, linspace(0,6,2000), [x0; v0]); figure('Position',[100 100 500 480]); plot(X(:,1), X(:,2), 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on; plot(x0, v0, 'go', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor','g'); % point initial plot(0, 0, 'r*', 'MarkerSize', 10); % attracteur grid on; xlabel('Position x (m)', 'FontSize', 12); ylabel('Vitesse \dot{x} (m/s)', 'FontSize', 12); title('Portrait de phase — Oscillateur sous-amorti (\xi=0.08)', 'FontSize', 12); legend('Trajectoire','CI','Équilibre','Location','northeast');
9. Applications industrielles — où retrouve-t-on les oscillateurs ?
L'oscillateur harmonique n'est pas une abstraction mathématique. Il est partout dans l'ingénierie moderne. Voici les domaines clés à connaître pour l'ingénieur mécanicien :
🚗 Suspension automobile
Système masse-ressort-amortisseur (ξ ≈ 0.3). Le réglage de ξ optimise le confort vs la tenue de route. Régime critique ≡ amortisseur parfait.
🏗️ Génie civil — isolation sismique
Les bâtiments parasismiques utilisent des isolateurs à la base (blocs en élastomère) pour déplacer ω₀ loin des fréquences sismiques (0.1–10 Hz).
⚙️ Machines tournantes
Les balourdages génèrent des forces harmoniques à la fréquence de rotation. L'analyse spectrale (FFT) permet de diagnostiquer des défauts de roulements.
📡 MEMS et capteurs
Les accéléromètres et gyroscopes MEMS sont des micro-oscillateurs dont on mesure le décalage de fréquence de résonance pour détecter l'accélération.
📊 Exemple numérique — Suspension automobile
Masse sur un essieu : \(m = 400\,\text{kg}\) · Raideur ressort : \(k = 16\,000\,\text{N/m}\)
\(\omega_0 = \sqrt{16000/400} = \sqrt{40} \approx 6{,}32\,\text{rad/s}\)
\(f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 1{,}0\,\text{Hz}\) — fréquence de confort humain ✅
Amortisseur critique : \(c_c = 2m\omega_0 = 2 \times 400 \times 6{,}32 \approx 5055\,\text{N·s/m}\)
En pratique : \(c \approx 0{,}3 \times c_c = 1517\,\text{N·s/m}\)
10. Synthèse — Ce qu'il faut retenir
| Concept | Formule clé | Unité / Remarque |
|---|---|---|
| Pulsation propre | \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) | rad/s |
| Taux d'amortissement | \(\xi = c/(2\sqrt{km})\) | sans dim · 0<ξ<1 : oscillant |
| Pulsation pseudo-propre | \(\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\xi^2}\) | rad/s · ωd < ω₀ |
| Amplification résonance | \(H_{\max} = Q = 1/(2\xi)\) | sans dim · peut être ≫ 1 |
| Pendule simple | \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\) | s · isochronisme <20° |
| Énergie mécanique | \(E_m = \frac{1}{2}kX_m^2\) | J · conservée si ξ=0 |
🏷️ Mots-clés
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