Cette poutre à 3 appuis défie la logique

 

  Cette poutre à 3 appuis défie la logique ! Diagrammes efforts tranchants & moments fléchissants

Dans cette vidéo de la chaîne « Ubaly Go », nous analysons une poutre peu ordinaire : une poutre à 3 appuis doubles (deux à l’extrémité et un au milieu), soumise à une charge répartie constante sur toute sa longueur. Cette configuration — trois appuis, pas de translation selon $x$ et $y$, mais rotation possible autour de l’axe $z$ — présente une indétermination statique (ou du moins un comportement particulier) qui « défie la logique ».

Nous allons :

• définir les données géométriques et de charge (section, longueur, appuis),

• établir les équations d’équilibre et déterminer les réactions aux appuis,

• en déduire les diagrammes d’effort tranchant (V(x)) et de moment fléchissant (M(x)),

• proposer un code MATLAB pour représenter ces diagrammes,

• commenter les résultats et les implications pour la conception structurelle.

  
  Cet article complète la vidéo, offre le détail des calculs, et couvre des aspects que peu d’articles web traitent – notamment l’analyse d’une poutre à trois appuis répartis uniforme, ce qui est souvent absent ou superficiel sur internet.

 Données de l’exercice et configuration

 Géométrie et charge

• Longueur de la poutre : $L = 1000\,\text{mm}$

• Section rectangulaire : largeur $b = 30\,\text{mm}$, hauteur $h = 50\,\text{mm}$.

• Charge uniformément répartie : $p = -p\,\mathbf{y}$, avec une valeur numérique de $1\,\text{N/mm}$ (soit $p=1\text{N/mm}$ répartie négativement selon $y$).

• Appuis : trois appuis doubles (permettant rotation autour de $z$ mais pas de translation en $x$ ou $y$) : deux à l’extrémité  à $x=0$ et à $x=L$ et un au milieu à $x=L/2$.

• Orientation : l’axe $x$ est l’axe longitudinal de la poutre, $y$ est vertical (positif vers le haut).

   

  
  
  

   Figure 1: Poutre à 3 appuis avec une charge répartie

   

Hypothèses et conventions

• On suppose matériau élastique linéaire, section prisme constante.

• On adopte la convention de signe : une charge vers le bas est négative (- y), le moment fléchissant positif correspond à un effet de « sagging » (concave vers le haut).

• On néglige le poids propre de la poutre ou l’intègre dans $p$ si besoin.

• En raison des trois appuis, la poutre est staticalement indéterminée (il y a plus de réactions que d’équations statiques simples). On utilise la méthode de l’équation des trois moments ou superposition pour déterminer les réactions.

 Calcul des réactions aux appuis

 

On considère deux travées égales de longueur $l$ chacune :

• longueur totale $L = 2l = 1000\ \mathrm{mm}\Rightarrow l = 500\ \mathrm{mm}$.

• charge uniformément répartie $w = p = 1\ \mathrm{N/mm}$ appliquée sur toute la portée $0\le x\le 2l$.

• appuis A (x=0), B (x=l), C (x=2l). Les appuis A et C sont simples (moments nuls).

Formules standard pour deux travées égales, charge UDL sur toute la longueur :

• Moment négatif au support intermédiaire $B$ (hogging) :

$$M_B = -\frac{w\,l^2}{8}$$

• Moment positif maximal au milieu de chaque travée (sagging) :

$$M_{mid\;span} = +\frac{w\,l^2}{16}$$

• Réactions verticales (symétrie) :

$$R_A = R_C = \frac{3}{8}\,w\,l,\qquad R_B = \frac{5}{4}\,w\,l$$

Valeurs numériques (avec $w=1\ \mathrm{N/mm},\ l=500\ \mathrm{mm}$) :

• $M_B = -\dfrac{1\times 500^2}{8} = -31\,250\ \mathrm{N\cdot mm}$

• $R_A = R_C = \dfrac{3}{8}\times 1\times 500 = 187{,}5\ \mathrm{N}$

• $R_C={\displaystyle \frac{5}{4}}\times 1\times 500=625\mathrm{N}$

   
  Vérification : $R_A+R_B+R_C = 187{,}5+625+187{,}5 =1000\ \mathrm{N} = w\cdot 2l$

Expressions analytiques par portion (pour tracés)

Pour $0\le x\le l$ (travée A–B) :

$$V(x)=R_A - w\,x = \frac{3}{8}w l - w x$$ $$M(x)=R_A x - \frac{w x^2}{2} = \frac{3}{8}w l\,x - \frac{w x^2}{2}$$

Pour $l\le x\le 2l$ (travée B–C) :

$$V(x)=R_A + R_B - w\,x = \left(\frac{3}{8}wl + \frac{5}{4}wl\right) - w x = \left(\frac{7}{8}wl\right) - w x$$

(avec $w l$ = charge totale par travée)

$$M(x)=R_A x + R_B(x-l) - \frac{w x^2}{2}$$

Ces expressions donnent bien les valeurs numériques ci-dessus (contrôlez la continuité en $x=l$).

 

Code MATLAB  (trace $V(x)$et $M(x)$)

Copiez-collez et exécutez dans MATLAB. J’ai inclus les réactions calculées analytiquement :

 

%% ------------------------------------------------------------------------
% % Diagrammes V(x) et M(x) pour poutre continue 2 travées égales sous UDL
% Auteurs : Dr. Kamel Bousnina
%% ------------------------------------------------------------------------

clear; clc; close all;

% Données
l = 500;            % mm (une travée)
L = 2*l;            % mm (longueur totale)
w = 1;              % N/mm (UDL)
% Réactions analytiques
R_A = 3/8 * w * l;  % N
R_B = 5/4 * w * l;  % N
R_C = R_A;

% Abscisses
x = linspace(0, L, 1000);

V = zeros(size(x));
M = zeros(size(x));

for i = 1:length(x)
    xi = x(i);
    if xi <= l
        V(i) = R_A - w*xi;
        M(i) = R_A*xi - 0.5*w*xi^2;
    else
        V(i) = R_A + R_B - w*xi;
        M(i) = R_A*xi + R_B*(xi - l) - 0.5*w*xi^2;
    end
end

% Plots
figure('Position',[100 100 800 600]);
subplot(2,1,1);
plot(x, V, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
yline(0,'k:');
scatter([0 l L],[R_A R_B R_C],'filled');
text([0 l L],[R_A R_B R_C]+30,{'R_A','R_B','R_C'});
xlabel('x (mm)'); ylabel('V(x) (N)');
title('Effort tranchant V(x)');
grid on;

subplot(2,1,2);
plot(x, M, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
yline(0,'k:');
% afficher valeurs clés
[~,idx_mid] = min(abs(x - l/2));
[~,idx_mid2] = min(abs(x - (3*l/2)));
disp(['M_middle_left = ', num2str(M(idx_mid)), ' Nmm']);
disp(['M_support_B   = ', num2str(M(x==l)), ' Nmm (should be approx -31250 Nmm)']);
xlabel('x (mm)'); ylabel('M(x) (N·mm)');
title('Moment fléchissant M(x)');
grid on;

 

 

Figure 3: Matlab:diagrammes de efforts tranchants et moments fléchissants

 

Travail avec SolidWorks Simulation — procédure et points d’attention

Voici les étapes recommandées pour reproduire la simulation et comparer aux résultats analytiques :

Préparation du modèle

1. Créer la géométrie 2D/3D :
   

   • Longueur totale = 1000 mm. Section rectangulaire 30 × 50 mm (extrudez un profil rectangulaire sur 1000 mm).

2. Matériau : Acier 1020 (Young E ≈ 200 GPa, ν ≈ 0.3). Dans l’image vous notez E=200 000 MPa → OK.
   
3. Mesure d’unités : travaillez en mm/N dans SolidWorks (ou unités cohérentes).
   

Conditions d’appui (important)

4. Appliquer les appuis :
   

   • A et C : appuis simples (fixer déplacement en Y et X? → pour une comparaison purement en flexion, on prend A et C pivots : empêche déplacement vertical et horizontal, mais autorise rotation autour z).

   • B (milieu) : appui simple (empêche déplacement vertical et horizontal, autorise rotation).

   Attention : si vous « fixez » rotations (empêcher rotation) vous transformez les appuis en encastrements partiels → résultats différents (moment aux appuis ≠ 0). Pour correspondre aux hypothèses analytiques, les appuis doivent autoriser la rotation (c’est un appui simple).

5. Charge répartie :
   

   • Appliquer une pression/charge distribuée sur la face supérieure égale à $1\ \mathrm{N/mm}$. SolidWorks prend généralement N/mm^2 pour pression ; si vous appliquez en force par longueur, utilisez « Force per length » ou convertir en surface pressure : pressure = w / (hauteur de section?) — mais plus simple : appliquez une répartition linéaire sur la ligne médiane en 2D ou sur la surface en 3D en donnant la valeur totale par unité de longueur. Vérifier l’unité.

Maillage et résolution

6. Maillage : maillage raisonnablement fin (refiner près des appuis). Utiliser éléments coques/solides selon modèle (pour section rectangulaire pleine : solide).
   
7. Étude statique : Run → obtenir réactions aux appuis, diagrammes internes (shear/moment) via « Resultant Forces / Moment » et « Internal Force » plots (ou post-processing en exportant champs de contraintes/déplacement pour calculer M via intégration).
   

Extraction des résultats

8. Forces de réaction : lisez les réactions verticales aux trois appuis → comparerez à 187.5 N, 625 N, 187.5 N.
   
9. Moment au support B : SolidWorks donnera le moment interne local ; vous devriez obtenir ~-31 250 N·mm si les appuis sont simples (rotation autorisée).
   
10. Contrôle de sens : signe des moments dans SolidWorks peut être contraire à votre convention ; comparez valeurs absolues.

     

    
    
    

     Figure 2: Diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants

     

Points d’attention si vous trouvez des écarts

• Si M_B ≠ valeur analytique : vérifiez que les appuis permettent la rotation et qu’il n’y a pas de contrainte d’empêchement de rotation (cela introduit rigidité et change le problème).

• Si la charge appliquée est mal convertie (N/mm → pression), la somme des réactions ne donnera pas 1000 N ; revérifiez unités.

• Si la poutre est modélisée trop rigide localement (mesh grossier) : raffinez le maillage.

Comparaison attendue théorie ↔ SolidWorks

• Réactions : SolidWorks (si conditions identiques) → $R_A \approx 187{,}5\ \mathrm{N}$, $R_C\approx 625\mathrm{N}$, $R_C \approx 187{,}5\ \mathrm{N}$.

• Moment au support C : $\approx -31\,250\ \mathrm{N\cdot mm}$.

• Moments positifs aux milieux de travée : $\approx +15\,625\ \mathrm{N\cdot mm}$.

Si vous voulez, je peux :

• préparer un fichier MATLAB téléchargeable (fichier .m) prêt à exécuter ;

• rédiger la procédure complète pas à pas avec captures d’écran (guide SolidWorks) — pour cela j’aurai besoin que vous confirmiez la méthode de modélisation (2D/3D) et comment vous souhaitez appliquer la charge (par surface ou par ligne).

 

 Des articles similaires:

Résistance des poutres: Diagrammes Efforts Tranchants & Moments 

Poutre bi-articulée avec une charge uniformément répartie

 

Conclusion

Cet article vous a permis de suivre pas à pas l’analyse d’une poutre à trois appuis doubles soumise à une charge répartie uniforme : depuis les données géométriques, le calcul des réactions et moments, jusqu’aux diagrammes d’effort tranchant et moment fléchissant et à la génération d’un code MATLAB prête à l’usage.

En complément, la vidéo sur la chaîne Ubaly Go vous montre visuellement ces diagrammes et leur interprétation dans un contexte pédagogique.

➡️ N’hésitez pas à :

• télécharger ou copier le code MATLAB et modifier les valeurs (p, L, section, position de l’appui intermédiaire) pour voir l’effet.

• partager vos résultats ou poser vos questions en commentaire de la vidéo ou sur le blog.

• explorer les implications de dimensionnement (contraintes, flèche, section) si vous appliquez ce cas à un projet réel.

FAQ (Questions fréquentes)

Q1 : Pourquoi la poutre est-elle statiquement indéterminée ?

Parce qu’il y a trois appuis mais qu’avec uniquement les équations d’équilibre (∑F=0, ∑M=0) on ne peut pas déterminer toutes les réactions indépendamment. Il faut utiliser des relations supplémentaires (rigidité, déformation, méthode des trois moments). Scribd+1

Q2 : Peut-on avoir un moment non nul aux appuis si ceux-ci sont pivots ?

Si les appuis sont de type simple (rotation libre), théoriquement $M=0$. Mais si l’appui intermédiaire empêche partiellement la rotation ou a une rigidité non négligeable, on peut avoir un moment non nul. Cela change les diagrammes.

Q3 : Le code MATLAB peut-il être étendu à des charges combinées (point + répartie) ou à plus d’appuis ?

Oui, il suffit de modifier la formule de $V(x)$ et $M(x)$ par morceaux, ou d’utiliser une approche par superposition / rigide pour plus d’appuis ; certains articles montrent des outils web pour cela. rekayasasipil.ub.ac.id

Q4 : Pourquoi la section 30×50 mm semble sur-dimensionnée dans cet exemple ?

Parce que la charge p=1 N/mm sur 1000 mm donne 1000 N totale, ce qui reste faible pour une section de cette taille. Cet exemple est pédagogique ; dans un usage réel on pourrait avoir p beaucoup plus élevé, ou un matériau plus faible.

Q5 : Quel est l’intérêt pédagogique de cette configuration à trois appuis ?

Elle montre comment l’ajout d’un appui intermédiaire change radicalement les résultats (réactions, moments, effort tranchant) comparé à une poutre simple aux extrémités. Cela permet de mieux comprendre l’indétermination, la redistribution des efforts, et l’importance des conditions d’appui.