Comprendre le système bielle-manivelle

 

 Comprendre le système bielle-manivelle : théorie, simulation et puissance

Dans cet article, nous explorons en profondeur le système bielle-manivelle, tel qu’illustré dans ma vidéo SolidWorks Motion. Nous verrons comment calculer analytiquement la vitesse des points critiques (la manivelle, la bielle, le piston) en fonction du rayon $r$, de l’angle $\theta$ et de la géométrie, comment appliquer la méthode d’équiprojectivité pour obtenir la vitesse du piston et de la bielle, puis comment reproduire ces résultats dans SolidWorks Motion. Enfin, nous ajoutons une force sur le piston pour déterminer graphiquement la puissance d’entrée (moteur) et calculer la puissance de sortie du piston, puis comparer les deux approches.

Cet article est conçu pour les ingénieurs, les étudiants en mécanique, et toute personne intéressée par la cinématique des mécanismes, particulièrement à travers la simulation numérique.

1. Présentation du système bielle-manivelle

Le système bielle-manivelle (ou “slider-crank mechanism” en anglais) est un mécanisme classique qui convertit un mouvement circulaire (rotation de la manivelle) en un mouvement rectiligne (aller-retour du piston). 

Figure 1: système bielle manivelle d'un moteur du compresseur 

Voici les éléments principaux :

• $O$ : le centre de rotation de la manivelle.

• $A$ : le point de rotation sur la manivelle (manivelle-pointe).

• Rayon de manivelle $r =$.

• $B$ : petit extrémité de la bielle, reliée au piston.

• Longueur de la bielle $L =$.

• L’axe du piston (glissière) est souvent aligné avec un axe fixe, etc.

   

  
  
  

   Figure 2: Schéma cinématique du système bielle manivelle

   

La position du piston (distance OB) peut être exprimée analytiquement comme :

$$OB = r \sin\theta + \sqrt{L^2 - r^2 \cos^2\theta}$$

Cette équation reflète la géométrie du mécanisme (triangle mécanique).

2. Calcul de la vitesse du point A (manivelle)

Le point $A$, sur la manivelle, tourne avec une vitesse angulaire $\omega$. Si la manivelle tourne à vitesse constante, alors :

$$\omega = \frac{d\theta}{dt}$$

La vitesse linéaire du point $A$ (pointe manivelle) est :

$$v_A = r \cdot \omega$$

car la manivelle décrit un cercle de rayon $r$, donc le point $A$ a une vitesse tangentielle constante de $r\,\omeg$.

C’est la vitesse “théorique” ou “idéale” de la manivelle, sans contrainte.

3. Calcul de la vitesse du piston et de la bielle via la méthode d’équiprojectivité

Voici la partie plus technique : comment déterminer la vitesse du point B (extrémité de la bielle / piston) et la vitesse angulaire de la bielle, via la méthode d’équiprojectivité.

3.1 Qu’est-ce que l’équiprojectivité ?

La méthode d’équiprojectivité (ou “velocity diagram” / diagramme des vitesses) consiste à projeter les vitesses des points sur des directions connues pour déterminer les vitesses inconnues. Pour un mécanisme articulé comme la bielle-manivelle, c’est très utile.

Vous tracez un diagramme de vecteurs vitesse :

1. Le vecteur vitesse de $A$ (manivelle) est connu (magnitude et direction, perpendiculaire à OA).
   
2. Le vecteur vitesse de $B$ (piston) est colinéaire à la glissière (axe du piston).
   
3. Le vecteur vitesse de la bielle (rotation autour de son centre) peut être décomposé.

    

   
   

    Vidéo1: Équiprojectivité, par mécanique Perez

    

En résolvant géométriquement (via projections), vous obtenez les vitesses relatives des articulations.

3.2 Formules analytiques (approximation)

D’après la théorie (méthode analytique — approximative), on peut exprimer la vitesse du piston comme :

$$v_B = \omega\,r \left(\sin\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2n}\right)$$

où $n = \frac{L}{r}$ (rapport longueur bielle / rayon manivelle).

De même, la vitesse angulaire de la bielle (ou la vitesse du petit bout) peut s’écrire (approximation) :

$$\omega_{bielle} = \frac{\omega \cos\theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta}}$$

Ces formules sont très pratiques pour une estimation rapide.

3.3 Illustration via équiprojectivité

• Tracez le vecteur vitesse de $A$ : de magnitude $r\omega$, perpendiculaire à OA.

• Tracez un vecteur sur la glissière (direction du mouvement du piston) pour $v_B$.

• Le vecteur vitesse de la bielle (à la liaison) doit “fermer le triangle de vitesses” entre ces deux.

• En projetant, on peut construire un diagramme graphique ou vectoriel pour résoudre pour $v_B$ et $\omega_{bielle}$.

   

  
  
  

   Figure 3: Équiprojectivité du bielle manivelle. (il faut respecter l'échelle)

   

Cette approche permet de visualiser comment la vitesse de $A$ “se distribue” vers $B$ et la bielle.

 

4. Mise en œuvre dans SolidWorks Motion

Passons à la partie simulation : comment j’ai utilisé SolidWorks Motion pour modéliser ce mécanisme et obtenir graphiquement les vitesses.

1. Modélisation du mécanisme

   • Créer les pièces : manivelle (liaison rotative), bielle, piston (glisseur).

   • Définir les liaisons : articulation rotule entre manivelle et bielle, pivot, glissière pour le piston.

   • Paramétrer les dimensions : rayon $r$, longueur de la bielle $L$, etc.

2. Définir Motion Study

   • Dans SolidWorks Motion, lancer une étude “Animation / Motion Analysis”.

   • Appliquer une vitesse angulaire constante à la manivelle : définir la contrainte “Motion” ou “Motor” avec une vitesse $\omega$.

   • Activer la sortie des vitesses “points” : dans Motion, demander l’enregistrement des vitesses des points A, B, et éventuellement d’un point sur la bielle.

3. Exécution de la simulation

   • Lancer la simulation sur un nombre de pas de temps suffisant (par exemple un tour complet de la manivelle).

   • Extraire les courbes : vitesse linéaire du piston (point B) en fonction du temps / de l’angle $\theta$, vitesse de la bielle, etc.

4. Analyse graphique

   • Visualiser les graphes de vitesse vs temps ou vitesse vs angle $\theta$.

   • Comparer les pics de vitesse, les profils obtenus avec les formules analytiques.

Dans ma vidéo, j’ai montré ces étapes, comment extraire les données, et comment lire les graphiques.

5. Application d’une force sur le piston — puissance moteur et puissance piston

Maintenant, on complexifie le modèle : on applique une force sur le piston (par exemple une force de combustion ou une force externe) et on calcule la puissance.

5.1 Généralités sur la puissance

• Puissance d’entrée (moteur) : c’est la puissance fournie par la manivelle / vilebrequin pour entraîner le mécanisme.

• Puissance de sortie (piston) : c’est la puissance “utile” délivrée au piston, égale à la force appliquée sur le piston multipliée par sa vitesse.

Matériellement :

$$P_{\text{piston}} = F_{\text{piston}} \cdot v_B$$

où $F_{\text{piston}}$ est la force appliquée, et $v_B$ la vitesse du point B (piston).

5.2 Simulation sous SolidWorks Motion

• Dans SolidWorks Motion, on peut appliquer une force externe sur le piston (au point B) : utiliser “Force / Remote Force” ou “Force motor” selon la version.

• Cette force peut être constante, ou varier en fonction du temps / de la position (dans un cas plus complexe de moteur, on mettrait un profil de pression de combustion).

• Activer l’enregistrement de la puissance : SolidWorks Motion peut calculer la puissance instantanée (ou la puissance fournie) via l’outil “Output Forces and Powers”.

5.3 Calcul analytique de la puissance de sortie

Parallèlement, on peut calculer manuellement la puissance de sortie du piston :

• On connaît la force $F$.

• On connaît la vitesse $v_B(\theta)$ à partir de la simulation ou des formules analytiques.

• On calcule $P_{\text{piston}}(\theta) = F \cdot v_B(\theta)$.

On peut alors tracer la puissance en fonction de l’angle $\theta$ ou du temps, et comparer avec la puissance calculée par SolidWorks.

5.4 Comparaison puissance moteur vs puissance piston

• La puissance moteur mesurée via SolidWorks Motion peut être un peu différente de la puissance de sortie du piston. Ces différences proviennent des pertes (inertie des pièces, frottements, inertie de la bielle, etc.).

• On peut donc discuter de l’efficacité “mécanique” du système, de la conversion de puissance, et de comment la simulation met en évidence ces effets non-idéaux.

6. Comparaison théorie vs simulation

Dans cette partie, tu peux présenter :

• Les courbes de vitesse du piston : théorique (formule) vs simulation.

• Les écarts éventuels : à quels angles $\theta$ la simulation diverge, pourquoi (approximation des formules analytiques, inertie, non-linéarités).

• Les valeurs de puissance : puissance d’entrée simulation, puissance de sortie calculée, rendement estimé.

• Discussion sur la validité des approximations : les formules analytiques (p. ex. $v_B = \omega r (\sin\theta + \sin2\theta/(2n))$ sont utiles, mais elles négligent certains effets. La simulation permet de capturer plus de détails.

7. Implications pratiques et optimisation

Quelques idées et recommandations basées sur ce que tu as observé :

• Choix du rapport $n = L / r$ (bielle / manivelle) : comme vu dans des documents théoriques, ce rapport influence la forme de la vitesse du piston (sinusoïdal, asymétrique) et les accélérations. maths-au-quotidien.fr

• Optimisation de la puissance : selon la force appliquée, l’angle optimal pour la puissance maximale, efficacité, pertes.

• Importance de la simulation : pour des moteurs réels, il est crucial de modéliser la dynamique complète (inerties, frottements, forces non constantes), ce que SolidWorks Motion permet.

   

   Des articles utiles:

                  Fabrication d'un moteur à Vapeur à Simple Effet Oscillant

                  Cours interactif: La modélisation d’un mécanisme

Conclusion

Pour conclure :

• Le système bielle-manivelle est un mécanisme fondamental en mécanique, et sa cinématique peut être décrite analytiquement, mais la simulation apporte une vision plus réaliste.

• La méthode d’équiprojectivité est puissante pour calculer les vitesses du piston et de la bielle.

• Avec SolidWorks Motion, on peut non seulement vérifier ces vitesses, mais aussi appliquer des forces, mesurer la puissance, et comparer la théorie avec la réalité simulée.

• Cette approche combinée (théorie + simulation) est très utile pour la conception et l’optimisation des moteurs, des pompes, ou de tout mécanisme à bielle-manivelle.